công thức lượng giác trong tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng nhập tam giác vuông.

Cho tam giác \(ABC\) vuông góc bên trên đỉnh \(A\) (\(\widehat{A} = 90^0\)), tớ có:

Bạn đang xem: công thức lượng giác trong tam giác

Quảng cáo

1. \({b^2} = ab';{c^2} = a.c'\)

2. Định lý Pitago : \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

3. \(a.h = b.c\)

4. \(h^2= b’.c’\)

5. \(\dfrac{1}{h^{2}}\) = \(\dfrac{1}{b^{2}}\) + \(\dfrac{1}{c^{2}}\)

 

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vì như thế tổng những bình phương của nhị cạnh còn sót lại trừ lên đường nhị đợt tích của nhị cạnh bại nhân với \(cosin\) của góc xen đằm thắm bọn chúng.

Ta đem những hệ thức sau:  

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ ngược của toan lí cosin:

\(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)

\(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

\(\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Áp dụng: Tính phỏng nhiều năm đàng trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác \(ABC\) đem những cạnh \(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\). Gọi \(m_a,m_b\) và \(m_c\) là phỏng nhiều năm những đàng trung tuyến thứu tự vẽ kể từ những đỉnh \(A, B, C\) của tam giác. Ta có

\({m_{a}}^{2}\) =  \(\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}\)

\({m_{b}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}\)

\({m_{c}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}\)

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác \(ABC\) ngẫu nhiên, tỉ số đằm thắm một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh bại vì như thế 2 lần bán kính của đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

\(\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)

Xem thêm: một tấm bìa hình chữ nhật

với \(R\) là nửa đường kính đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác 

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) được xem bám theo một trong những công thức sau

\(S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A \) \(= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)\)   

\(S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)\)           

\(S = pr\, \,(3)\)              

\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\)  (công thức  Hê - rông) \((4)\)

Trong đó:\(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\); \(R, r\) là nửa đường kính đàng tròn trặn nước ngoài tiếp, bk đàng tròn trặn nội tiếp và \(S\) là diện tích S tam giác bại.

3. Giải tam giác và phần mềm nhập việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm kiếm những nhân tố (góc, cạnh) chưa chắc chắn của tam giác khi đang được biết một số trong những nhân tố của tam giác bại.

Muốn giải tam giác tớ cần thiết lần côn trùng tương tác trong những góc, cạnh đang được mang đến với những góc, những cạnh chưa chắc chắn của tam giác trải qua những hệ thức và được nêu nhập toan lí cosin, toan lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các Việc về giải tam giác: Có 3 Việc cơ bạn dạng về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhị góc.

=> Dùng toan lí sin nhằm tính cạnh còn sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhị cạnh và góc xen giữa

=> Dùng toan lí cosin nhằm tính cạnh loại tía. 

Sau bại sử dụng hệ ngược của toan lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết tía cạnh

Đối với Việc này tớ dùng hệ ngược của toan lí cosin nhằm tính góc: 

    \(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)       

    \(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

    \(cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Chú ý: 

Xem thêm: phân tử khối của brom

1. Cần cảnh báo là 1 trong những tam giác giải được khi tớ biết 3 nhân tố của chính nó, nhập bại cần đem tối thiểu một nhân tố phỏng nhiều năm (tức là nhân tố góc ko được quá 2)

2. Việc giải tam giác được dùng nhập những Việc thực tiễn, nhất là những Việc đo lường.