tổng của cấp số nhân

Cấp số nhân là phần kỹ năng cần thiết vô lịch trình toán trung học phổ thông. Trong số đó, những công thức cấp cho số nhân khá phức tạp. Vì vậy, nhằm thực hiện bài bác tập dượt thì những em cần thiết ghi ghi nhớ và biết phương pháp áp dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại những công thức và bài bác tập dượt cấp cho số nhân qua chuyện nội dung bài viết tại đây.

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một trong sản phẩm số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhì, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó với một số trong những ko thay đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp cho số nhân). Có nghĩa là:

Bạn đang xem: tổng của cấp số nhân

u_{n} là cấp cho số nhân với \Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1} với n \in N^{\ast }

Ví dụ: Dãy số (u_{n}), với u_{n}=3^{n} là một trong cấp cho số nhân với số hạng đầu u_{1}=3 và công bội q = 3.

2. Công bội q

q là công bội của cấp cho số nhân un có 

Công bội q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân u_{1}=3,u_{2}=9. Tính công bội q

Ta có: 

q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân u_{3}=8,u_{4}=16 . Tính công bội q

Ta có: 

q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2

3. Tính hóa học cấp cho số nhân

  • $(u_{n})$ là một trong cấp cho số nhân thì kể từ số hạng loại nhì, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cấp cho số nhân hữu hạn) tiếp tục bởi vì tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}

  • Nếu một cấp cho số nhân un với số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát mắng un sẽ tiến hành tính bởi vì công thức:

u_{n}=u_{1}.q^{n-1}

Ví dụ : Cho cấp cho số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0. 

Biết u1 = 1; u3 =3. Hãy thám thính u4

Lời giải: 

Ta có: u2= u. u= 3

          u3= u. u4

Từ (1) vì thế u2  > 0 ( vì như thế u1=1 > 0 và q > 0)

\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}

  • Khi q = 0 thì sản phẩm với dạng u1; 0;0…;0;… và Sn=u1 

  • Khi q = 1 thì sản phẩm với dạng u1;u1;u1;...;u1;... và Sn=nu1.

  • Khi u= 0 thì với từng q, cấp cho số nhân với dạng 0; 0; 0;…; 0;… và Sn=u1.

Đăng ký ngay lập tức nhằm được trao hoàn toàn cỗ kỹ năng về cấp cho số nhân

4. Tổng phù hợp những công thức tính cấp cho số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

  • Tính q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall n \geq 1

  • Kết luận: 

  • Nếu q là ko thay đổi thì sản phẩm un là cấp cho số nhân

  • Nếu q thay cho thay đổi thì sản phẩm un ko là cấp cho số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cấp cho số nhân với số hạng loại nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng thứ nhất.

Lời giải: 

Ta với 6 số hạng thứ nhất là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân Un với số hạng loại nhì là 10 và số hạng loại năm là 1250.

  1. Tìm số hạng loại nhất

  2. Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

  1. Đặt r là công bội của cấp cho số nhân.

 Ta có: r(5-2) = r3 hoặc r3 = 1250 : 10 = 125 = 53. Từ cơ r = 5. 

\Rightarrow u1=10=5=2. 

Số hạng loại nhất là 2 

  1. 2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài mang đến cấp cho số nhân Un thỏa mãn: u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}. Dãy số Un bên trên là cấp cho số nhân đích hoặc sai? 

Lời giải: 

Ta có: \frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const không tùy thuộc vào n. Vậy sản phẩm số (Un) là một trong cấp cho số nhân với số hạng đầu u_{1}=3\sqrt{3} và công bội là q=\sqrt3

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp cho số nhân

Phương pháp: Sử dụng những đặc thù của CSN, thay đổi nhằm tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân Un với U1 = 2, U2 = 4. Tính công bội q.

Từ công thức tớ có: q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân Un với U1 = 3, U2 = -6. Tính công bội q.

Lời giải: 

Từ công thức tớ có: 

q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2

Ví dụ 3: Đề mang đến phụ vương số x,y,z lập trở nên một cấp cho số nhân và phụ vương số x, 2y, 3z lập trở nên một cấp cho số nằm trong. Tìm công bội q.

Lời giải: 

Đặt q là công bội của cấp cho số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập trở nên một cấp cho số nằm trong \Rightarrow x+3z=4y

Giải câu hỏi công thức cấp cho số nhân

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp cho số nhân

Phương pháp:

Để thám thính số hạng của cấp cho số nhân tớ dùng công thức tính số hạng tổng quát mắng Un = U1.qn-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u1 và q  của cấp cho số nhân biết: 

\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 72\\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{matrix}\right.

Lời giải: 

Ta thay đổi đổi: 

\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 72\\ u_{1}q^{4} - u_{1}q^{2} = 144 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 72\\ u_{1}q^{2}(q^{2} - 1) = 144 \end{matrix}\right.

\Rightarrow q = \frac{144}{72} = 2 \Rightarrow u_{1} = 12

Vậy cấp cho số nhân (un) với u1 = 12 và q = 2

Ví dụ 2: Bài mang đến cấp cho số nhân (un) với u= 8 , u= 32. Số hạng loại 10 của cấp cho số nhân cơ là? 

Lời giải: 

Gọi q là công bội của cấp cho số nhân (un), tớ với q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2

Với q = 2, tớ với u10 = u. q= 8 . 2= 1024

Với q = -2, tớ với u10 = u. q7= 8 . (-2)= -1024

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân (un), hiểu được số hạng thứ nhất u= 3, công bội là 2. Hãy thám thính số hạng loại 5

Lời giải: 

Áp dụng công thức tớ với : u= u. qn–1

\Leftrightarrow u= u. q=3 . 2= 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp cho số nhân của n số hạng thứ nhất vô dãy

Ta dùng công thức:

Công thức tính tổng CSN của n số hạng thứ nhất vô sản phẩm - công thức cấp cho số nhân

Ví dụ 1: Tính tổng cấp cho số nhân:

S = 2 + 6 + 18 + 13122

Lời giải:

(un) với u1=2 và q = 3. 

13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}

Ví dụ 2: Bài mang đến cấp cho số nhân (un) với

(un): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.

  1. 5 số hạng đầu của cấp cho số nhân bên trên là gì? 

  2. 10 số hạng đầu của cấp cho số nhân (un) bên trên với tổng là bao nhiêu? 

Lời giải: 

Giải bài bác tập dượt vận dụng công thức cấp cho số nhân

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân Un thỏa mãn: u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}

  1. Dãy số là cấp cho số nhân là đích hoặc sai?

  2. Tính S = u+ u+ u6... + u20

Lời giải: 

  1. Ta có: \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const ko tùy thuộc vào n. Vậy sản phẩm số (Un) là một trong cấp cho số nhân với số hạng đầu u_{1}=3\sqrt{3} và công bội là q=\sqrt{3}

  2. Dãy số: u2, u4, u6,..., u20 lập trở nên một cấp cho số nhân với số hạng đầu là u= 9, q = 3 

\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác tấp tểnh những bộ phận cấu trúc nên một cấp cho số nhân như: số hạng đầu U1, công bội q tiếp sau đó suy rời khỏi được công thức mang đến số hạng tổng quát mắng .

Ví dụ 1: CSN (un) như sau, thám thính u1 khi:

u_{n} = \frac{2}{3^{n - 1}}

Mà u_{n} = \frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n - 1} = 6561 \Rightarrow n = 9

Lời giải: 

\left\{\begin{matrix} u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11}\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 11 \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(1 + q + q^{2}) = \frac{32}{11}\\ u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.

\Rightarrow \frac{1 + q^{4}}{q(1 + q + q^{2})} = \frac{82}{39}

\Leftrightarrow Ta với q = 3 hoặc q = \frac{1}{3}

Khi cơ đợt lượt u_{1} = \frac{81}{11} hoặc u_{1} = \frac{1}{11}

Xem thêm: phiếu xin ý kiến chi ủy nơi cư trú

Ví dụ 2: Dãy số nào là là cấp cho số nhân: 

  1. 1;0,2;0,04;0,008;...

  2. 1,22,222,2222,...

  3. X,2x,3x,4x,...

  4. 2,3,5,7,...

Lời giải: 

Xét đáp án A tớ có: 

u= 1, u= u. 0,2, u= u. (0,2)2, u= u. (0,2)3

Sử dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập tớ chứng tỏ được u= (0,2)n

Khi cơ \frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2 ko đổi

Vậy sản phẩm số là cấp cho số nhân với công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân với sáu số hạng, hiểu được tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải: 

Gọi cấp cho số nhân (un) cần thiết thám thính với công bội q, số hạng thứ nhất un.

Ta có: s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}

s5' = u2 + u3 + u4 + u5 + u6

= u1q + u2q + u3q + u4q + u5q

= q . (u+ u+ u+ u+ u5)

= q . S5

Mà S= 31; S5' = 62

\Rightarrow q=2

u_{1}=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1

Vậy cấp cho số nhân (un) là 1;2;4;8;16;32

Nắm hoàn toàn kỹ năng và cách thức giải từng dạng bài bác tập dượt Toán trung học phổ thông với cỗ bí mật độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cấp cho số nhân (un) với công bội q thỏa mãn nhu cầu -1 < q <1 thì cấp cho số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S= u1(1 - qn)(1 - q) = u1(q- 1)(q - 1)

 Trong cơ sn là tổng n số hạng thứ nhất của cấp cho số nhân (un)

Ví dụ: \frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243} là một cấp cho số nhân lùi vô hạn q=\frac{1}{3}

5.2. Bài toán tổng của cấp số nhân lùi hạn

Đề bài bác mang đến cấp cho số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy tớ với tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Tính tổng 

S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...

Lời giải:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u_{1}=1, q=\frac{-1}{3} nên 

S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}

Ví dụ 2: Biểu biểu diễn số thập phân vô hạn tuần trả 0,777… bên dưới dạng số

Lời giải: 

Ta có: 

0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}

Vậy 0,777...=\frac{7}{9}

Ví dụ 3: Tổng của một cấp cho số nhân lùi vô hạn là \frac{5}{3} tổng phụ vương số hạng thứ nhất của sản phẩm số là \frac{39}{25}. Xác tấp tểnh (u1), q của cấp cho số đó?

Lời giải: 

Giải câu hỏi vận dụng công thức cấp cho số nhân

6. Một số bài bác tập dượt cấp cho số nhân và cách thức giải chi tiết

Câu 1: Cho cấp cho số nhân un với công bội q

a) tường u= 2, u6 = 486. Tìm q

b) tường q= \frac{2}{3}, u_{4} = \frac{8}{21}. Tính u1

c) tường u1 = 3, q = -2. Xác tấp tểnh số 192 là số hạng loại bao nhiêu vô cấp cho số nhân?

Lời giải: 

Áp dụng công thức un = u1.qn-1

a) Theo công thức bên trên tớ có: u6 = u1.q5 \Rightarrow q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{486}{2} = 243 \Rightarrow q = 3

b) Theo công thức tớ có: u4 = u1.q3 \Rightarrow u_{1} = \frac{u_{4}}{q^{3}} = \frac{8}{21} . (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{7}

c) Theo công thức tớ có: 12 = 3.(-2)^{n - 1} \Rightarrow (-2)^{n - 1} = 64 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7

Vậy số 192 là số hạng loại 7

Câu 2: Tìm những số hạng của cấp cho số nhân (un) biết cấp cho số nhân bao gồm với 5 số hạng và:

a) TH1: u= 3 , u= 27

b) TH2: u– u2 = 25 ,  u3 – u1 = 50

Lời giải: 

a) Theo công thức un = u1.qn - 1 ta với thứu tự những số hạng u3 và u5 được tính như sau:

u3 = u1.q2 \Rightarrow 3 = u1.q2 (1)

u5 = u1.q4 \Rightarrow 27 = u1.q4 (2)

Từ (1) và (2) tớ hoàn toàn có thể suy rời khỏi được

q^{2} = \frac{u_{1}.q^{4}}{u_{1}.q^{2}} = 9 \Rightarrow q = \pm 3

Xét ngôi trường hợp:

Với q = 3 tớ với u_{1} = \frac{1}{3} ta với cấp cho số nhân thứu tự là: \frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27

Với q = -3 tớ với u_{1} = -\frac{1}{3} ta với cấp cho số nhân thứu tự là: \frac{1}{3}; -1; 3; -9; 27​​​​​​​​​​​​​​

b) Theo đề bài bác rời khỏi tớ có:

\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 25\\ u_{3} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 25\\ u_{1}q^{2} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 25 (1)\\ u_{1}(q^{2} - 1) = 50 (2) \end{matrix}\right.

Thay (2) vô phương trình (1) tớ với 50.q = 25 \Leftrightarrow q = \frac{1}{2}

\Rightarrow u_{1} = -\frac{200}{3}

Vậy tớ với cấp cho số nhân như sau:

-\frac{200}{3}; -\frac{100}{3}; -\frac{50}{3}; -\frac{25}{3}; -\frac{25}{6}

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân với sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Tổng của 5 số hạng đầu bởi vì 31, kể từ cơ tớ suy ra:

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31

\Rightarrow u1q + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q

\Rightarrow u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q (1)

mà tổng của 5 số hạng sau  bởi vì 62 kể từ cuộc suy ra

u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q = 62

vậy q = 2

Vì S5 = 31 = \frac{u_{1}(1 - 2^{5})}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 1

Vậy tớ với cấp cho số nhân bám theo đề bài bác là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng số lượng dân sinh của tỉnh x là một trong những,4%. tường rằng bên trên thời gian tham khảo số dân của tỉnh lúc bấy giờ là một trong những,8 triệu con người, căn vặn với nấc tăng lương bổng như thế thì sau 5 năm, 10 năm số nữa số lượng dân sinh của tỉnh cơ là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh cơ thời điểm hiện tại là N 

Sau 1 năm số lượng dân sinh tăng là một trong những,4%N 

Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh này đó là n + 1,4%N = 101,4%N 

Số dân tỉnh cơ sau từng năm lập trở nên một cấp cho số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; … 

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân) 

Và sau 10 năm được xem là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài bác mang đến un với những số hạng 0, tìm  u1 biết:

u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}. Mà u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9

Lời giải: 

Giải câu hỏi vận dụng công thức cấp cho số nhân

Tham khảo ngay lập tức một số trong những dạng bài bác tập dượt thương gặp gỡ về cấp cho số nhân được những thầy cô VUIHOC tổng hợp

PAS VUIHOCGIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:  

⭐ Xây dựng suốt thời gian học tập kể từ rơi rụng gốc cho tới 27+  

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập bám theo sở thích  

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô  

⭐ Học đến lớp lại cho tới lúc nào hiểu bài bác thì thôi

⭐ Rèn tips tricks gom bức tốc thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền vô quy trình học tập tập

Đăng ký học tập demo không lấy phí ngay!!

Xem thêm: công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Trên đó là toàn cỗ lý thuyết và những dạng công thức cấp cho số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài bác tập dượt kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa huấn luyện nhằm học tập và ôn tập dượt kỹ năng Toán 11 phục vụ ôn ganh đua trung học phổ thông QG ngay lập tức kể từ thời điểm ngày hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

  • Tổng phù hợp những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân & bài bác tập
  • Cấp số nằm trong là gì? Công thức cấp cho số nằm trong và bài bác tập
  • Xác suất của thay đổi cố
  • Giới hạn của sản phẩm số