Cách giải phương trình bậc 2

A. Phương trình bậc 2 là gì?

Phương trình bậc 2 là phương trình đem dạng ax²+bx+c=0 (a≠0) (1).

Giải phương trình bậc 2 là đi kiếm những độ quý hiếm của x sao cho tới Khi thay cho x vô phương trình (1) thì thỏa mãn nhu cầu ax²+bx+c=0.

Bạn đang xem: cách giải phương trình bậc 2

B. Giải phương trình bậc 2

Bước 1: Tính Δ=b²-4ac

Bước 2: So sánh Δ với 0

Δ < 0 => phương trình (1) vô nghiệm
Δ = 0 => phương trình (1) đem nghiệm kép $x_{1} =x_{2} = - \frac{b}{2a}$
Δ > 0 => phương trình (1) đem 2 nghiệm phân biệt, tớ người sử dụng công thức nghiệm sau:

$x_{1} =\frac{-b+\sqrt{\triangle } }{2a}$ và $x_{2} =\frac{-b-\sqrt{\triangle } }{2a}$

C. Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

D. Sử dụng Hệ thức Vi – et

Định lí Vi – ét

Nếu $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ thì $\left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} \right.$

Định lí Vi - et đảo

Nếu nhì số $x_{1};x_{2}$ có $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1}.x_{2} \\ \end{matrix} \right.$ thì $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - Sx + P.. = 0$ , ( $x_{1};x_{2}$ tồn bên trên Khi $S^{2} - 4P \geq 0$ )

E. Ví dụ giải phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Giải phương trình bậc nhì sau: $x^{2} - 49x - 50 = 0$

Hướng dẫn giải

Cách 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = -49; c = -50)

$\begin{matrix} \Delta = ( - 49)^{2} - 4.1.( - 50) = 2601 \\ \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 51 \\ \end{matrix}$

Do ∆ > 0 nên phương trình đem nhì nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- ( - 49) - 51}{2} = - 1 \\x_{2} = \dfrac{- ( - 49) + 51}{2} = 50 \\\end{matrix} \right.$

Cách 2: Nhẩm nghiệm

Do a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

Nên phương trình đem nhì nghiệm $\left\{ \begin{matrix} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = 50 \\ \end{matrix} \right.$

Cách 3: $\Delta = ( - 49)^{2} - 4.1.( - 50) = 2601 > 0$

Theo toan lí Vi – et tớ có:

$\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = 49 = ( - 1) + 50 \\ P = x_{1}.x_{2} = - 50 = ( - 1).50 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình đem nhì nghiệm: $\left\{\begin{matrix}x_{1} = - 1 \\x_{2} = - \dfrac{- 50}{1} = 50 \\\end{matrix} \right.$

Ví dụ 2: Giải phương trình 4x²- 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)²- 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình (2) tiếp tục cho tới đem 2 nghiệm phân biệt.

$x_{1} =\frac{-(-2)+\sqrt{100} }{2.4} =\tfrac{3}{2}$ và $x_{2} = \frac{-(-2)-\sqrt{100} }{2.4} =-1$

Bạn cũng hoàn toàn có thể nhẩm Theo phong cách nhẩm nghiệm thời gian nhanh, vì thế nhận biết 4-(-2)+6=0, nên x₁ = -1, x₂ = -c/a = -(-6)/4=3/2. Nghiệm vẫn như thể phía trên.

Ví dụ 3: Giải phương trình 2x²- 7x + 3 = 0 (3)

Xem thêm: hợp chất hữu cơ la gì

Tính Δ = (-7)²- 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) đem 2 nghiệm phân biệt:

$x_{1} =\frac{-(-7)+\sqrt{25} }{2.2} = 3$ và $x_{1} =\frac{-(-7)-\sqrt{25} }{2.2} = \frac{1}{2}$

Để đánh giá coi chúng ta tiếp tục tính nghiệm đúng không nhỉ rất đơn giản, chỉ việc thay cho theo thứ tự x₁, x₂ vô phương trình 3, nếu như đi ra thành quả vì thế 0 là chuẩn chỉnh. Ví dụ thay cho x₁, 2.3²-7.3+3=0.

Ví dụ 4: Giải phương trình 3x² + 2x + 5 = 0 (4)

Tính Δ = 2²- 4.3.5 = -56 < 0 => phương trình (4) vô nghiệm.

Ví dụ 5: Giải phương trình x² – 4x +4 = 0 (5)

Tính Δ = (-4)²- 4.4.1 = 0 => phương trình (5) đem nghiệm kép:

$x_{1} =x_{2} =\frac{-(-4)}{2.1} =2$

Thực đi ra nếu như thời gian nhanh ý, chúng ta cũng hoàn toàn có thể nom đi ra trên đây đó là hằng đẳng thức kỷ niệm (a-b)²= a²- 2ab + b² nên đơn giản và dễ dàng ghi chép lại (5) trở nên (x - 2)²= 0 <=> x=2.

F. Phân tích nhiều thức trở nên nhân tử

Nếu phương trình (1) đem 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂, khi này chúng ta cũng hoàn toàn có thể ghi chép nó về dạng sau: ax²+ bx + c = a(x-x₁)(x-x₂) = 0.

Trở lại với phương trình (2), sau thời điểm tìm hiểu đi ra 2 nghiệm x1, x2 chúng ta cũng có thể ghi chép nó về dạng: 4(x-3/2)(x+1)=0.

G. Giải phương trình bậc nhì chứa chấp tham lam số

1. Phương trình đem nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \geq 0$

2. Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta < 0$

3. Phương trình đem nghiệm có một không hai (Nghiệm kép hoặc nhì nghiệm vì thế nhau) $\Leftrightarrow \Delta = 0$

4. Phương trình đem nhì nghiệm phân biệt (khác nhau) $\Leftrightarrow \Delta > 0$

5. Phương trình đem nhì nghiệm nằm trong vết $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \right.$

6. Phương trình đem nhì nghiệm ngược vết $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ P < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow a.c < 0$

7. Phương trình đem nhì nghiệm dương (Hai nghiệm to hơn 0) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ \begin{matrix} S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.$

8. Phương trình đem nhì nghiệm âm (Hai nghiệm nhỏ rộng lớn 0) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ \begin{matrix} S < 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.$

9. Phương trình đem nhì nghiệm đối nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ S = 0 \\ \end{matrix} \right.$

10. Hai nghiệm nghịch tặc hòn đảo nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ P = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Xem thêm: vai trò của không khí

Điều cần thiết ghi nhớ: $\left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} \right.$

Đi ngay tắp lự với phương trình bậc 2 còn tồn tại toan lý Vi-et với thật nhiều phần mềm như tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 tiếp tục thưa phía trên, tìm hiểu 2 số lúc biết tổng và tích, xác lập vết của những nghiệm, hoặc phân tách trở nên nhân tử. Đây đều là những kiến thức và kỹ năng quan trọng tiếp tục nối sát với chúng ta vô quy trình học tập đại số, hoặc những bài xích luyện giải và biện luận phương trình bậc 2 sau đây, nên cần thiết ghi lưu giữ kỹ và thực hành thực tế cho tới thuần thục.

Nếu đem dự định theo đòi học tập xây dựng, chúng ta cũng cần phải có những kiến thức và kỹ năng toán cơ bạn dạng, thậm chí là kiến thức và kỹ năng toán nâng cao, tùy nằm trong vô dự án công trình các bạn sẽ thực hiện.