nguyên hàm cos bình x

Để thăm dò nguyên vẹn hàm của hàm số cos sin, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể dùng những quy tắc và công thức tương quan cho tới nguyên vẹn hàm của những dung lượng giác. Dưới đó là cơ hội thăm dò nguyên vẹn hàm của hàm số cos sin:
1. sát dụng quy tắc nguyên vẹn hàm tích: Ta màn biểu diễn hàm số cos sin bên dưới dạng tích của nhì dung lượng giác.
cos sin = 0.5 * (sin(2x))
2. Sử dụng quy tắc nguyên vẹn hàm của hàm sin(ax):
∫sin(ax) dx = - (1/a) * cos(ax) + C
Áp dụng quy tắc này vô hàm số cos sin:
∫cos sin dx = ∫(0.5 * sin(2x)) dx
= - 0.5 * (1/2) * cos(2x) + C
= - 0.25 * cos(2x) + C
Vậy nguyên vẹn hàm của hàm số cos sin là - 0.25 * cos(2x) + C, vô bại liệt C là hằng số nằm trong.

Bạn đang xem: nguyên hàm cos bình x

Nguyên hàm của hàm số sin(x) là -cos(x) + C, vô bại liệt C là hằng số cần thiết xác lập.

Nguyên hàm của hàm số cos(x) là sin(x) + C, vô bại liệt C là 1 hằng số tùy ý. Để tính nguyên vẹn hàm của hàm số cos(x), tao tiến hành công việc sau:
1. sát dụng quy tắc quy thay đổi thân ái lượng giác: cos(x) = sin(π/2 - x).
2. Dùng quy tắc nguyên vẹn hàm sin(u) = -cos(u) + C nhằm tính nguyên vẹn hàm của sin(π/2 - x). Với u = π/2 - x, tao đem sin(u) = sin(π/2 - x) = sin(π/2)cos(x) - cos(π/2)sin(x) = cos(x).
3. Kết ăn ý bước 1 và bước 2, tao đem nguyên vẹn hàm của cos(x) là -cos(π/2 - x) + C = -sin(x) + C.
Vậy, nguyên vẹn hàm của hàm số cos(x) là sin(x) + C.

Để tính nguyên vẹn hàm của hàm số sin(x).cos(x), tất cả chúng ta hoàn toàn có thể dùng một vài công thức lượng giác và quy tắc tính nguyên vẹn hàm. Dưới đó là cơ hội tiến hành chi tiết:
1. Sử dụng công thức: sin(2x) = 2sin(x).cos(x), tao hoàn toàn có thể viết lách lại hàm số ban sơ như sau: sin(x).cos(x) = 0.5sin(2x).
2. Tính nguyên vẹn hàm của hàm số 0.5sin(2x) bằng phương pháp dùng quy tắc tính nguyên vẹn hàm của sin(x): ∫sin(x)dx = -cos(x) + C, vô bại liệt C là 1 hằng số.
3. sát dụng quy tắc tính nguyên vẹn hàm của hàm số 0.5sin(2x), tao có: ∫0.5sin(2x)dx = -0.5*cos(2x) + D, vô bại liệt D cũng là 1 hằng số.
Vậy, nguyên vẹn hàm của hàm số sin(x).cos(x) là: -0.5*cos(2x) + D, vô bại liệt D là hằng số ngẫu nhiên.

Có một vài công thức nhằm tính nguyên vẹn hàm của hàm số cos(x).sin(x). Một vô số này là công thức tích phân vì chưng cả nhì luật lệ đạo hàm và tích phân by parts. Cụ thể, tao hoàn toàn có thể tính như sau:
Giả sử cần thiết tính nguyên vẹn hàm của hàm số cos(x).sin(x), kí hiệu là I. Ta vận dụng công thức tích phân by parts:
- Chọn u = cos(x) và dv = sin(x) dx.
- Tính du, tao được du = -sin(x) dx.
- Tính v, tao được v = -cos(x).
Áp dụng công thức tích phân by parts, tao có:
∫ cos(x).sin(x) dx = -cos(x).cos(x) - ∫ (-sin(x)).(-sin(x)) dx.
Từ bại liệt, tao có:
I = ∫ cos(x).sin(x) dx = -cos^2(x) + ∫ sin^2(x) dx.
Dựa vô công thức sin^2(x) + cos^2(x) = 1, tao hoàn toàn có thể thay cho thế:
I = -cos^2(x) + ∫ (1 - cos^2(x)) dx.
Tiếp bám theo, tao tính ∫ cos^2(x) dx bằng phương pháp vận dụng công thức chuẩn chỉnh tích phân của cos^2(x):
∫ cos^2(x) dx = (cos(x).sin(x) + x) / 2.
Kết ăn ý lại, tao có:
I = -cos^2(x) + ∫ (1 - cos^2(x)) dx
= -cos^2(x) + x/2 - ∫ cos^2(x) dx/2
= -cos^2(x) + x/2 - (cos(x).sin(x) + x) / 4.
Sau bại liệt, tao hoàn toàn có thể kế tiếp đo lường nhằm giản dị và đơn giản hóa thành phẩm.

Có thể vận dụng cách thức tích phân bám theo bội nhằm thăm dò nguyên vẹn hàm của hàm số sin(x).cos(x). Chúng tao hoàn toàn có thể dùng công thức tích phân vì chưng cách thức tích phân bám theo bội như sau:
∫ sin(x).cos(x) dx = ∫ sin(x) d(sin(x)) = ∫ sin(x) d(-cos(x))
Tiếp bám theo, tất cả chúng ta tính nguyên vẹn hàm của sin(x):
∫ sin(x) d(-cos(x)) = -cos(x)
Vậy nguyên vẹn hàm của hàm số sin(x).cos(x) là -cos(x) + C, vô bại liệt C là hằng số.

Để tính độ quý hiếm của nguyên vẹn hàm I = ∫sin^2(x).cos^4(x)dx, tao hoàn toàn có thể dùng công thức tính nguyên vẹn hàm của tích số hàm.
Bước 1: Sử dụng công thức sin^2(x) = một nửa - 1/2cos(2x) để thay thế thế sin^2(x).
I = ∫(1/2 - 1/2cos(2x)).cos^4(x)dx
Bước 2: Sử dụng công thức tích số hàm, (a + b)(m + n) = am + an + bm + bn, nhằm nhân hai tuyến phố trực tiếp.
I = ∫(1/2cos^4(x) - 1/2cos(2x).cos^4(x))dx
Bước 3: Tách riêng biệt phần coi như thể cos^4(x) và phần đem dạng cos(2x).cos^4(x).
I = ∫(1/2cos^4(x) - 1/2cos^2(x).cos^2(x).cos(2x))dx
Bước 4: Thực hiện nay tích phân từng phần.
Phần 1: ∫(1/2cos^4(x))dx
Áp dụng công thức tích phân, ∫cos^4(x)dx = (1/4)(3x + sin(4x)/2) + C
Phần 2: ∫(-1/2cos^2(x).cos^2(x).cos(2x))dx
Ta tiến hành thay cho thế u = cos(x), du = -sin(x)dx.
∫(-1/2cos^2(x).cos^2(x).cos(2x))dx = ∫(-1/2u^2.(1 - u^2).cos(2x))du
= ∫(-1/2(u^2 - u^4).cos(2x))du
= ∫(-1/2u^2.cos(2x) + 1/2u^4.cos(2x))du
= -1/4∫u^2cos(2x)du + 1/4∫u^4cos(2x)du
Áp dụng công thức tích phân, ∫u^2cos(2x)du = (u^2/2)(sin(2x)/2) - (∫sin(2x)/2du)
Do (∫sin(2x)/2du) = sin(2x)/4 + C, nên
∫u^2cos(2x)du = (u^2/2)(sin(2x)/2) - (∫sin(2x)/2du)
= (u^2/2)(sin(2x)/2) - (sin(2x)/4) + C
= sin(2x)(u^2/4 - 1/4) + C
Áp dụng công thức tích phân, ∫u^4cos(2x)du = (u^4/6)(sin(2x)/2) - (∫(4u^3/6)(sin(2x)/2)du)
= (u^4/6)(sin(2x)/2) - (4/6)∫u^3sin(2x)du
Sử dụng công thức tích phân, ∫u^3sin(2x)du = u^3(-cos(2x)/4) - (∫(-3u^2)(-cos(2x)/4)du)
= -u^3cos(2x)/4 + (3/4)∫u^2cos(2x)du
Thay những độ quý hiếm tiếp tục tính được vô, tao có:
∫u^4cos(2x)du = (u^4/6)(sin(2x)/2) - (4/6)(-u^3cos(2x)/4 + (3/4)∫u^2cos(2x)du)
= (u^4/6)(sin(2x)/2) + (u^3cos(2x)/6) - (1/6)∫u^2cos(2x)du
Kết trái ngược cuối cùng:
I = (1/4)(3x + sin(4x)/2) - sin(2x)(cos^2(x)/4 - 1/4) + (1/6)(sin^2(x)/2.cos(2x) + sin^4(x)/2.sin(2x)) + C
Vậy độ quý hiếm của nguyên vẹn hàm I = ∫sin^2(x).cos^4(x)dx là (1/4)(3x + sin(4x)/2) - sin(2x)(cos^2(x)/4 - 1/4) + (1/6)(sin^2(x)/2.cos(2x) + sin^4(x)/2.sin(2x)) + C.

Để thăm dò nguyên vẹn hàm của hàm số sin^5(x).cos^2(x), tao dùng luật lệ thay đổi phát triển thành số nhằm giải quyết và xử lý việc này.
Bước 1: Đặt u = sin(x), vậy du = cos(x) dx
Bước 2: Thay thế những độ quý hiếm bên trên nguyên tố u và du vô biểu thức ban sơ.
sin^5(x).cos^2(x) dx = u^5(v^2 du) = u^5v^2 du
Bước 3: Tính nguyên vẹn hàm của biểu thức nhận được kể từ bước 2.
Nguyên hàm của u^5v^2 du là ∫u^5v^2 du = ∫(u^5) du ∫(v^2) du
= (1/6)u^6 + (1/3)v^3 + C
Với C là hằng số vô quy trình tính nguyên vẹn hàm.
Bước 4: Thay những độ quý hiếm của u và v vô biểu thức nguyên vẹn hàm tiếp tục tính.
= (1/6)(sin(x))^6 + (1/3)(cos(x))^3 + C
Vậy, nguyên vẹn hàm của hàm số sin^5(x).cos^2(x) là (1/6)(sin(x))^6 + (1/3)(cos(x))^3 + C.

Để thăm dò nguyên vẹn hàm của hàm số sin(x).cos^2(x), tao dùng cách thức thay cho thay đổi phát triển thành số. Đặt u = cos(x), Lúc bại liệt du = -sin(x)dx. Thay vô biểu thức ban sơ, tao có:
I = ∫sin(x).cos^2(x)dx
= -∫u^2du
= -1/3*u^3 + C
Với C là hằng số tích integration. Thay u = cos(x) vô biểu thức bên trên, tao có:
I = -1/3*cos^3(x) + C
Vậy, nguyên vẹn hàm của hàm số sin(x).cos^2(x) là -1/3*cos^3(x) + C.

Xem thêm: kinh vu lan và báo hiếu

Để minh chứng những phương trình tương quan cho tới nguyên vẹn hàm của hàm số sin(x) và cos(x), tất cả chúng ta hoàn toàn có thể dùng những công thức và quy tắc tương quan cho tới tích phân. Dưới đó là một vài phương trình cơ phiên bản và cơ hội minh chứng chúng:
1. Nguyên hàm của sin(x):
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
Chứng minh: Lấy đạo hàm của -cos(x) + C, tao được: d/dx(-cos(x) + C) = sin(x). Vậy nguyên vẹn hàm của sin(x) là -cos(x) + C.
2. Nguyên hàm của cos(x):
∫cos(x) dx = sin(x) + C
Chứng minh: Lấy đạo hàm của sin(x) + C, tao được: d/dx(sin(x) + C) = cos(x). Vậy nguyên vẹn hàm của cos(x) là sin(x) + C.
3. Nguyên hàm của hàm sin^2(x):
∫sin^2(x) dx = (1/2)x - (1/4)sin(2x) + C
Chứng minh: Sử dụng công thức bù trừ của sin(2x): sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Từ bại liệt, tao có:
∫sin^2(x) dx = ∫(1/2)(1 - cos(2x)) dx
= (1/2)∫(1 - cos(2x)) dx
= (1/2)x - (1/2)(1/2)sin(2x) + C
= (1/2)x - (1/4)sin(2x) + C
4. Nguyên hàm của hàm cos^2(x):
∫cos^2(x) dx = (1/2)x + (1/4)sin(2x) + C
Chứng minh: Sử dụng công thức bù trừ của cos(2x): cos(2x) = 2cos^2(x) - 1. Từ bại liệt, tao có:
∫cos^2(x) dx = ∫(1/2)(1 + cos(2x)) dx
= (1/2)∫(1 + cos(2x)) dx
= (1/2)x + (1/2)(1/2)sin(2x) + C
= (1/2)x + (1/4)sin(2x) + C
Như vậy, và đã được minh chứng những phương trình tương quan cho tới nguyên vẹn hàm của hàm số sin(x) và cos(x) như bên trên.