căn bậc 2 của 2

"Hằng số Pythagoras" gửi nhắm tới phía trên. Đừng lầm lẫn với Số Pythagoras.

Căn bậc nhì của 2 bởi vì với chừng nhiều năm của cạnh huyền của một tam giác vuông với nhì cạnh lòng bởi vì 1.

Căn bậc nhì của 2, hoặc lũy quá 50% của 2, được ghi chép là 2 hoặc 212, là số đại số dương sao cho tới Khi nhân với chủ yếu nó, cho tới tớ số 2. Đúng rộng lớn, nó được gọi là căn bậc nhì số học tập của 2 nhằm phân biệt với số đối của chính nó với đặc điểm tương tự động.

Bạn đang xem: căn bậc 2 của 2

Trong hình học tập, căn bậc nhì của 2 là chừng nhiều năm đàng chéo cánh của một hình vuông vắn với cạnh nhiều năm 1 đơn vị; khởi nguồn từ toan lý Pythagoras. Nó có lẽ rằng là số vô tỉ được nghe biết trước tiên.

Một số hữu tỉ xấp xỉ với căn bậc nhì của nhì với kiểu số nhỏ một vừa hai phải cần là phân số 99/70 (≈ 1.4142857).

Dãy A002193 nhập OEIS bao gồm những chữ số nhập trình diễn thập phân của căn bậc nhì của 2, cho tới 65 chữ số thập phân:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799...

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Bản khu đất sét Babylon YBC 7289 với chú thích. Ngoài việc đã cho chúng ta thấy căn bậc nhì của 2 nhập hệ lục thập phân (1 24 51 10), phiên bản khu đất sét này cũng cho 1 ví dụ nếu như một cạnh của hình vuông vắn là 30 thì đàng chéo cánh là 42 25 35. Trong hệ lục thập phân 30 rất có thể là 0 30 = 1/2, còn 0 42 25 35 xấp xỉ bởi vì 0.7071065.

Bảng khu đất sét Babylon YBC 7289 (khoảng 1800–1600 TCN) cho 1 xấp xỉ của 2 nhập tứ chữ số lục thập phân, 1 24 51 10, trúng cho tới khoảng chừng sáu chữ số thập phân,[1] và là xấp xỉ lục thập phân rất tốt của 2 sử dụng 4 chữ số:

Một xấp xỉ nguyên sơ không giống xuất hiện tại nhập văn khiếu nại toán học tập của bấm Độ cổ kính, quyển Sulbasutras (khoảng 800–200 BC) như sau: Tăng chừng nhiều năm [của cạnh] bởi vì một trong những phần thân phụ chủ yếu nó và một trong những phần tư của một trong những phần thân phụ và sụt giảm một trong những phần thân phụ mươi tư của một trong những phần tư bại.[2] Tức là,

Các môn đồ dùng của Pythagoras vạc hiện tại rằng đàng chéo cánh của hình vuông vắn và cạnh của chính nó là ko thể sánh được, hoặc bám theo ngôn từ văn minh, căn bậc nhì của 2 là một số trong những vô tỉ. Không nhiều điều được thấu hiểu về thời hạn hoặc tình cảnh của tò mò này, tuy nhiên cái brand name thông thường được nói đến là Hippasus của Metapontum. Các môn đồ dùng Pythagoras coi tính vô tỉ của căn bậc nhì của 2 là 1 trong những kín đáo, và bám theo lời nói kể, Hippasus đã biết thành giết mổ vì thế bật mí nó.[3][4][5] Căn bậc nhì của 2 nhiều khi còn được gọi là số Pythagoras hoặc hằng số Pythagoras, như nhập Conway & Guy (1996).[6]

Thuật toán tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Có một số trong những thuật toán nhằm xấp xỉ 2, thông thường là bên dưới dạng tỉ số của nhì số vẹn toàn hoặc một số trong những thập phân. Thuật toán thông dụng nhất cho tới việc này, được sử dụng thực hiện hạ tầng trong vô số nhiều PC và PC thu về, là cách thức Babylon[7], một trong mỗi cách thức tính căn bậc nhì. Thuật toán này như sau:

Đầu tiên, đoán một số trong những a0 > 0 bất kì. Sau bại, sử dụng số một vừa hai phải đoán, tính từng số hạng bám theo công thức truy hồi sau:

Càng rất nhiều lần triển khai luật lệ tính bên trên (tức là ít nhiều thứ tự tái diễn và số "n" càng lớn), cho tới tớ xấp xỉ càng đảm bảo chất lượng của căn bậc nhì của 2. Mỗi thứ tự tính cho tới tớ khoảng chừng gấp rất nhiều lần số chữ số trúng. Bắt đầu với a0 = 1 những số tiếp theo sau là

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416...
  • 577/408 = 1.414215...
  • 665857/470832 = 1.4142135623746...

Giá trị của 2 được xem cho tới 137.438.953.444 chữ số thập phân bởi vì team của Yasumasa Kanada năm 1997. Tháng hai năm 2006, kỉ lục cho tới việc tính 2 bị đánh tan dùng một cái máy tính cá thể. Shigeru Kondo tính 1 ngàn tỷ chữ số thập phân của căn bậc nhì của 2 nhập năm 2010.[8] Trong số những hằng số toán học tập với trình diễn thập phân cần thiết nhiều khoáng sản đo lường và tính toán, chỉ mất π là được xem đúng đắn rộng lớn.[9] Những đo lường và tính toán vì vậy hầu hết là nhằm đánh giá bởi vì thực nghiệm coi những số bại liệu có phải là thông thường hay là không.

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một xấp xỉ hữu tỉ đơn giản và giản dị 99/70 (≈ 1.4142857) thông thường được dùng. Mặc dù là kiểu số đơn thuần 70, chừng sai chéo của chính nó với độ quý hiếm thực sự thấp hơn 1/10,000 (khoảng +072×10−4). Do nó là 1 trong những giản phân của trình diễn liên phân số của căn bậc nhì của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ này sát rộng lớn cần với kiểu số ko nhỏ nhiều hơn 169, bởi 239/169 (≈ 1.4142012) là giản phân tiếp theo sau với sai số khoảng chừng −012×10−4.

Xấp xỉ hữu tỉ 665857/470832, kể từ bước loại tứ nhập cách thức Babylon phía trên chính thức với a0 = 1, với sai số khoảng chừng 16×10−12: bình phương của chính nó là 20000000000045

Kỉ lục[sửa | sửa mã nguồn]

Đây là bảng những kỉ lục mới gần đây trong công việc tính những chữ số của 2 (1 ngàn tỉ = 1012 = một triệu.000.000).

Ngày Tên Số chữ số
28 mon 6 năm 2016 Ron Watkins 10 ngàn tỷ
3 tháng tư năm 2016 Ron Watkins 5 ngàn tỷ
9 mon hai năm 2012 Alexander Yee 2 ngàn tỷ
22 mon 3 năm 2010 Shigeru Kondo 1 ngàn tỷ
Nguồn:[10]

Chứng minh tính vô tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một minh chứng cộc về tính chất vô tỉ của 2 dùng toan lý nghiệm hữu tỉ, tuyên bố rằng nếu như P(x) là 1 trong những nhiều thức monic với thông số vẹn toàn, thì bất kì nghiệm hữu tỉ này của P(x) cũng chính là một số trong những vẹn toàn. kề dụng toan lý cho tới nhiều thức P(x) = x2 − 2, tớ suy đi ra 2 hoặc là số vẹn toàn hoặc là số vô tỉ. Vì 1<2<2 nên nó ko là một số trong những vẹn toàn, bởi vậy 2 là một số trong những vô tỉ. Chứng minh này rất có thể tổng quát: căn bậc nhì của bất kì số bất ngờ này ko cần số chủ yếu phương là một số trong những vô tỉ.

Xem số vô tỉ bậc nhì hoặc lùi vô hạn cho tới minh chứng rằng căn bậc nhì của bất kì số bất ngờ ko cần số chủ yếu phương nào thì cũng là vô tỉ.

Chứng minh bởi vì lùi vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Một trong mỗi minh chứng thông dụng nhất dùng cách thức lùi vô hạn. Đây cũng chính là minh chứng bởi vì phản bệnh, nhập bại mệnh đề cần thiết minh chứng được fake sử là sai rồi suy đi ra fake sử này sẽ không thể xẩy ra, tức mệnh đề cần thiết minh chứng là trúng.

  1. Giả sử 2 là một số trong những hữu tỉ, tức 2 rất có thể ghi chép bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, nhập bại ab yếu tố bên nhau.
  2. Ta suy đi ra a2/b2 = 2a2 = 2b2.   (a2b2 là những số nguyên)
  3. Do bại a2 là số chẵn, nên a cũng chính là số chẵn, tức tồn bên trên số vẹn toàn k sao cho tới a = 2k.
  4. Thay 2k cho tới a nhập đẳng thức ở bước 2: 2b2 = (2k)2 tớ được b2 = 2k2.
  5. Lập luận như bước 3, tớ được b2 là số chẵn, nên b là số chẵn.
  6. Như vậy cả ab đều là số chẵn, ngược với fake thiết rằng ab là nhì số yếu tố bên nhau.

Vì tớ suy đi ra được một điều vô lý, fake sử (1) rằng 2 là số hữu tỉ là sai. Tức là, 2 cần là một số trong những vô tỉ.

Chứng minh này được khêu ý bởi vì Aristotle, nhập cuốn Analytica Priora, §I.23.[11] Chứng minh hoàn hảo trước tiên xuất hiện tại nhập cỗ Thương hiệu của Euclid, là mệnh đề 117 của Quyển X. Tuy nhiên, từ trên đầu thế kỷ 19 nhiều sử gia nhận định rằng minh chứng này sẽ không trực thuộc phiên bản thảo gốc và bởi vậy ko thể nghĩ rằng của Euclid.[12]

Chứng minh hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 1. Chứng minh hình học tập của Stanley Tennenbaum cho tới tính vô tỉ của 2.

Một trình diễn hình học tập của minh chứng bên trên được John Horton Conway nghĩ rằng của Stanley Tennenbaum Khi ông còn là một học viên đầu những năm 1950[13] và thứ tự xuất hiện tại mới gần đây nhất là nhập một bài xích báo bởi vì Noson Yanofsky nhập tập san American Scientist số mon 5-6 năm 2016.[14] Cho nhì hình vuông vắn với cạnh là số vẹn toàn ab, nhập bại một chiếc với diện tích S gấp rất nhiều lần kiểu bại, bịa đặt nhì hình vuông vắn nhỏ nhập hình vuông vắn rộng lớn như nhập hình 1. Phần giao phó nhau ở thân mật với diện tích S ((2ba)2) cần bởi vì tổng diện tích S của nhì hình vuông vắn nhỏ ko được phủ phủ (2(ab)2). Như vậy tớ chiếm được nhì hình vuông vắn nhỏ rộng lớn những hình vuông vắn lúc đầu và diện tích S đặc điểm này gấp rất nhiều lần kiểu bại. Lặp lại quy trình này tớ rất có thể thu nhỏ những hình vuông vắn tùy ý, tuy nhiên điều này là vô nguyên do bọn chúng cần với cạnh là số vẹn toàn dương, tức to hơn hoặc bởi vì 1.

Hình 2. Chứng minh hình học tập của Tom Apostol cho tới tính vô tỉ của 2.

Một minh chứng hình học tập dùng phản bệnh không giống xuất hiện tại năm 2000 nhập tập luyện san American Mathematical Monthly.[15] Nó cũng là 1 trong những minh chứng dùng cách thức lùi vô hạn, đôi khi dùng luật lệ dựng hình bởi vì thước kẻ và compa và được biết kể từ thời Hy Lạp cổ kính.

Lấy ABC vuông cân nặng với cạnh huyền m và cạnh mặt mày n như nhập Hình 2. Theo toan lý Pythagoras, m/n = 2. Giả sử mn là những số vẹn toàn và m:n là phân số tối giản

Vẽ những cung BDCE với tâm A. Nối DE hạn chế BC bên trên F. Dễ thấy, nhì tam giác ABCADE cân nhau bám theo cạnh-góc-cạnh.

Ngoài đi ra tớ cũng thấy BEF là tam giác vuông cân nặng. Do bại BE = BF = mn. Theo tính đối xứng, DF = mn, và FDC cũng chính là tam giác vuông cân nặng. Ta suy đi ra FC = n − (mn) = 2nm.

Như vậy tớ với 1 tam giác vuông cân nặng nhỏ rộng lớn với cạnh huyền 2nm và cạnh mặt mày mn. Chúng nhỏ rộng lớn mn tuy nhiên với nằm trong tỉ lệ thành phần, ngược với fake thiết là m:n là tối giản. Do bại, mn ko thể nằm trong là số vẹn toàn, nên 2.

Chứng minh trực tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Một phía lên đường không giống mang tính chất xây cất là thiết lập 1 vách bên dưới cho tới hiệu của 2 và một số trong những hữu tỉ bất kì. Với nhì số vẹn toàn dương ab, số nón trúng của 2 (tức số nón của 2 nhập khai triển đi ra quá số vẹn toàn tố) của a2 là chẵn, còn của 2b2 là lẻ, nên bọn chúng là những số vẹn toàn không giống nhau; bởi vậy | 2b2a2 | ≥ 1 với từng a, b vẹn toàn dương. Khi đó[16]

Xem thêm: he was the first man who left the burning building

bất đẳng thức cuối trúng bởi tớ fake sử a/b ≤ 3 − 2 (nếu ko thì hiệu bên trên phân minh to hơn 3 − 22 > 0). Bất đẳng thức này cho tới tớ ngăn bên dưới 1/3b2 của hiệu | 2a/b |, kể từ bại kéo đến minh chứng tính vô tỉ thẳng tuy nhiên ko cần thiết fake sử phản bệnh. Chứng minh này cho là tồn bên trên một khoảng cách thân mật 2 và ngẫu nhiên số hữu tỉ này.

Tính hóa học của căn bậc nhì của 2[sửa | sửa mã nguồn]

Một nửa của 2, đôi khi cũng chính là nghịch tặc hòn đảo của 2, xấp xỉ bởi vì 0.707106781186548, là 1 trong những độ quý hiếm thông thường bắt gặp nhập hình học tập và lượng giác vì thế vectơ đơn vị chức năng tạo ra góc 45° với những trục thì với tọa độ

Số này thỏa mãn

Một độ quý hiếm với tương quan là tỷ trọng bạc. Hai số dương a, b với tỷ lệ bạc δS nếu

.

Bằng cơ hội đổi khác về phương trình bậc nhì, tớ rất có thể giải được δS = 1 + 2.

2 rất có thể được trình diễn bám theo đơn vị chức năng ảo i chỉ dùng căn bậc nhì và những luật lệ toán số học:

nếu ký hiệu căn bậc nhì được khái niệm phù hợp cho tới số phức ii.

2 cũng chính là số thực độc nhất không giống 1 tuy nhiên tetration vô hạn thứ tự bởi vì với bình phương của chính nó. Một cơ hội tuyên bố nghiêm ngặt như sau: nếu như với số thực c > 1 tớ khái niệm x1 = cxn+1 = cxn với n > 1, thì số lượng giới hạn của xn Khi n → ∞ (nếu tồn tại) gọi là f(c). Khi ấy 2 là số c > 1 độc nhất thỏa f(c) = c2. Hay rằng cơ hội khác:

2 cũng xuất hiện tại nhập công thức Viète cho tới π:

với m vết căn và trúng một vết trừ.[17]

Ngoài đi ra, 2 còn xuất hiện tại trong vô số nhiều hằng con số giác:[18]

Hiện vẫn chưa chắc chắn liệu 2 liệu có phải là số chuẩn chỉnh, một đặc điểm mạnh rộng lớn tính vô tỉ, tuy nhiên phân tách tổng hợp trình diễn của chính nó nhập hệ nhị phân đã cho chúng ta thấy với kỹ năng nó chuẩn chỉnh nhập hệ cơ số nhì.[19]

Biểu biểu diễn chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ thức cos π/4 = sin π/4 = 1/2, cùng theo với những trình diễn tích vô hạn của sin và cosin cho tới ta

hoặc tương tự,

Ngoài đi ra tớ rất có thể sử dụng chuỗi Taylor của những dung lượng giác. Ví dụ, chuỗi Taylor cho tới cos π/4 cho tới ta

Chuỗi Taylor cho tới 1 + x với x = 1 cùng theo với giai quá kép n!! cho tới ta

Sử dụng đổi khác Euler nhằm đẩy mạnh vận tốc quy tụ của mặt hàng, tớ được

Một công thức dạng BBP cho tới 2 vẫn không được dò thám đi ra, song vẫn với những công thức dạng BBP cho tới π22ln(1+2).[20]

2 rất có thể trình diễn bởi vì phân số Ai Cập, với kiểu số bởi vì những số hạng loại 2n của một mặt hàng hồi quy tuyến tính tương đương mặt hàng Fibonacci. Đặt a0 = 0, a1 = 6, an = 34an − 1an − 2[21]

Liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Xấp xỉ căn bậc nhì của 2 bởi vì mặt hàng giản phân.

Căn bậc nhì của 2 với trình diễn bởi vì liên phân số sau:

Những giản phân trước tiên là: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408. Giản phân p/q cơ hội 2 một khoảng chừng sát bởi vì 1/2q22[cần dẫn nguồn] và giản phân tiếp theo sau là p + 2q/p + q.

Bình phương lồng nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức tại đây quy tụ về 2:

Hằng số liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Nghịch hòn đảo của căn bậc nhì của 2 (căn bậc nhì của 1/2) là 1 trong những hằng số thông thường sử dụng.

Xem thêm: dù đục dù trong con sông vẫn chảy

(dãy số A010503 nhập bảng OEIS)

Khổ giấy[sửa | sửa mã nguồn]

Năm 1786, GS vật lý cơ người Đức Georg Lichtenberg[22] vạc hiện tại rằng ngẫu nhiên tờ giấy má này với cạnh nhiều năm dài vội vàng 2 thứ tự cạnh cộc rất có thể được gấp rất nhiều lần sẽ tạo trở thành một tờ giấy má mới nhất với tỉ lệ thành phần y sì tờ lúc đầu. Tỉ lệ giấy má này đảm bảo an toàn rằng hạn chế giấy má trở thành nhì nửa đã cho ra những tờ giấy má nhỏ rộng lớn nằm trong tỉ lệ thành phần. Khi Đức chuẩn chỉnh hóa khung giấy nhập thời điểm đầu thế kỷ trăng tròn, chúng ta sử dụng tỉ lệ thành phần của Lichtenberg sẽ tạo trở thành giấy má đau đớn "A".[22] Hiện ni, tỉ lệ thành phần sườn hình (xấp xỉ) của khung giấy bám theo tiêu xài chuẩn chỉnh ISO 216 (A4, A0, vân vân) là 1:2.

Chứng minh:
Gọi cạnh cộc và cạnh nhiều năm của tờ giấy má, với

bám theo ISO 216.

Gọi là tỉ số của 1/2 tờ giấy má thì

.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Căn bậc nhì của 3
  • Căn bậc nhì của 5
  • Tỷ lệ bạc, 1 + 2
  • Căn bậc nhì của 2 tạo hình nhập mối liên hệ trong những f-stop của thấu kính máy hình họa, kéo đến tỉ lệ thành phần diện tích thân mật nhì khẩu chừng liên tục là 2.
  • Hằng số Gelfond–Schneider, 22.
  • Công thức Viète cho tới pi

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Fowler và Robson, trang 368.
    Photograph, illustration, and mô tả tìm kiếm of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Lưu trữ 2012-08-13 bên trên Wayback Machine
    High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
  2. ^ Henderson.
  3. ^ Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem" Lưu trữ 2013-05-30 bên trên Wayback Machine, Khoa Sư phạm Toán, Đại học tập Georgia.
  4. ^ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio..." Lưu trữ 2013-06-27 bên trên Wayback Machine, Nrich.org, mon 11 2004.
  5. ^ Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
  6. ^ Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, tr. 25
  7. ^ Mặc mặc dù ngày này cụm kể từ "phương pháp Babylon" được sử dụng khá thông dụng, không tồn tại dẫn chứng thẳng này đã cho chúng ta thấy cơ hội người Babylon tính xấp xỉ 2 bên trên phiên bản khu đất sét YBC 7289. Fowler và Robson khuyến cáo một số trong những fake thiết.
    Fowler và Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  8. ^ “Constants and Records of Computation”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  9. ^ “Number of known digits”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  10. ^ “Records Set by y-cruncher”. Bản gốc tàng trữ ngày trăng tròn mon 10 năm 2015. Truy cập ngày 3 mon 10 năm 2019.
  11. ^ Trong Khi ghi chép về loại bệnh mihn bởi vì phản bệnh, Aristotle nói: "đường chéo cánh của hình vuông vắn là ko thể sánh được với cạnh của chính nó, cũng chính vì số lẻ tiếp tục thông qua số chẵn nếu như bọn chúng sánh được với nhau".
  12. ^ Phiên phiên bản giờ đồng hồ Hy Lạp của cục Cơ sở xuất phiên bản bởi vì E. F. August bên trên Berlin nhập 1826–1829 trả minh chứng này nhập phần Phụ lục. Điều tương tự động xẩy ra với phiên phiên bản của sử gia J. L. Heiberg (1883–1888).
  13. ^ Proof 8‴ Lưu trữ 2016-04-22 bên trên Wayback Machine
  14. ^ Yanofsky, N. (2016). “Paradoxes, Contradictions, and the Limits of Science”. Bản gốc tàng trữ ngày 30 mon 6 năm năm 2016.
  15. ^ Tom M. Apostol (tháng 11 năm 2000), “Irrationality of The Square Root of Two -- A Geometric Proof”, The American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741
  16. ^ Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2011), “Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism?”, Intellectica, 56 (2): 223–302 (Mục 2.3, chú thích 15), arXiv:1110.5456, Bibcode:2011arXiv1110.5456U
  17. ^ Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941), What is mathematics? An Elementary Approach vĩ đại Ideas and Methods, London: Oxford University Press, tr. 124
  18. ^ Julian D. A. Wiseman Sin and cos in surds Lưu trữ 2009-05-06 bên trên Wayback Machine
  19. ^ Good & Gover (1967).
  20. ^ “Archived copy” (PDF). Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 10 mon 6 năm 2011. Truy cập ngày 30 tháng tư năm 2010.Quản lý CS1: phiên bản tàng trữ là title (liên kết)
  21. ^ “Sloane's A082405”. Bảng tra cứu vãn mặt hàng số vẹn toàn trực tuyến. Tổ chức OEIS.
  22. ^ a b Houston, Keith (2016). The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time. W. W. Norton & Company. tr. 324. ISBN 0393244806.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Apostol, Tom M. (2000), “Irrationality of square root of 2 – A geometric proof”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741, JSTOR 2695741.
  • Aristotle (2007), Analytica priora, eBooks@Adelaide
  • Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
  • Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
  • Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), “Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context” (PDF), Historia Mathematica, 25 (4): 366–378, doi:10.1006/hmat.1998.2209, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 3 mon 9 năm 2006.
  • Good, I. J.; Gover, T. N. (1967), “The generalized serial test and the binary expansion of 2”, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 (1): 102–107, doi:10.2307/2344040, JSTOR 2344040.
  • Henderson, David W. (2000), “Square roots in the Śulba Sūtras”, nhập Gorini, Catherine A. (biên tập), Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, tr. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Gourdon, X.; Sebah, P.. (2001), “Pythagoras' Constant: 2”, Numbers, Constants and Computation.
  • Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" kể từ MathWorld.
  • Căn bậc nhì của Hai cho tới 5 triệu chữ số bởi vì Jerry Bonnell và Robert J. Nemiroff. Tháng 5, 1994.
  • Căn bậc nhì của 2 là vô tỉ, một tuyển chọn tập luyện những bệnh minh
  • Grime, James; Bowley, Roger. “The Square Root 2 of Two”. Numberphile. Brady Haran. Bản gốc tàng trữ ngày 22 mon 5 năm 2017. Truy cập ngày 19 mon 12 năm 2019.